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划着小船的王大海

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第5章 容斥抽屉

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(阳光斜斜地洒进教室,黑板上密密麻麻写满了计数问题例题。我盯着那些加乘符号和公式,心里直犯嘀咕,趁着老师讲解抽屉原理的间隙,举起了手)

我:“老师,这些原理太绕了!加法和乘法还好理解,可容斥原理和抽屉原理根本用不上实际问题,不就是数学书上的文字游戏吗?”

老师(停下粉笔,转身推了推眼镜):“同学,数学原理都来源于实际生活。比如抽屉原理,你想想,如果有3个苹果放进2个抽屉……”

我(打断道):“我知道!至少有一个抽屉放2个苹果。但这有什么用?现实里谁会没事把苹果塞抽屉啊?还有容斥原理,又是重复又是排斥的,直接把人数加起来不就好了?”

老师(皱起眉头):“上个月校运会报名,30人参加跑步,25人参加跳远,10人两项都报。按你的方法,总人数是55人?可实际上只有45人啊。”

我(涨红了脸):“那只是巧合!而且就算要用容斥原理,背公式就行了,何必讲这么多推导过程?”

后排同学开始窃窃私语,老师的脸色沉了下来:“数学不是背公式的学科。容斥原理的推导过程,是为了让你们理解为什么要减去重复部分,这才是数学思维的核心。”

我(猛地站起来):“可考试只看答案!我用笨方法慢慢算,只要结果对就行,为什么非要学这些花里胡哨的原理?”

老师(提高声调):“等遇到复杂问题,比如三个集合的容斥,或者带限制条件的抽屉问题,你的‘笨方法’要算到什么时候?去年竞赛题里,有一道涉及多层嵌套的抽屉原理……”

我(激动地拍桌子):“那是竞赛题!我们普通学生根本用不上!老师你总是拿难题来证明方法的重要性,可日常练习和考试根本没这么难!”

教室里一片寂静,只有吊扇转动的嗡嗡声。老师深吸一口气,在黑板上画了个大表格:“好,我们现场验证。这道题:从1到100的自然数中,能被3或5整除的数有多少个?你用普通加法,我用容斥原理。”

我抓起笔在草稿纸上演算,先数出能被3整除的33个数,再数出能被5整除的20个数,正要相加时,突然想起老师说的“重复部分”,手指顿在纸上。这时老师已经写下答案:“33 + 20 - 6 = 47,能同时被3和5整除(即被15整除)的有6个数,这就是重复计数的部分。”

我(梗着脖子):“这次是你运气好!抽屉原理肯定没用!”

老师(冷笑一声):“那我们换个场景。现在有5种颜色的袜子各10只混在一起,黑暗中至少摸出几只才能保证有两双颜色相同的袜子?”

我(脱口而出):“10只!每种颜色各摸2只。”

老师在黑板上快速画图:“如果前5次摸到5种不同颜色,第6次随便摸一只就能配成一双。但要保证两双,假设第7次又摸到和第6次同色,这时还是只有一双,所以至少需要……”

我(打断):“至少9只!但这是特殊设计的题目,现实中谁会这样摸袜子?”

老师(气得脸色发白):“抽屉原理的本质是‘最不利原则’,在数据加密、资源分配领域都有应用!你总以‘没用’否定知识,是对数学的傲慢!”

我(眼眶发红):“我只是觉得学了用不上!每天背这些原理,考试一紧张还是会忘,还不如多做几道基础题!”

下课铃突然响起,老师沉默着收拾教案。我呆坐在座位上,看着草稿纸上凌乱的数字,想起上次月考因为没考虑重复计数丢了8分,心里泛起一丝懊悔。但想到老师刚才严厉的语气,又倔强地别过头。

同桌递来张纸条:“其实我觉得老师说得对,上次编程课用到抽屉原理分配内存……”我捏皱纸条,望向窗外,夕阳把梧桐树的影子拉得很长,就像我此刻纷乱又迷茫的思绪。

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